Question

已知动圆C与定圆x²+y²=1内切，与直线x=3相切．
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）若Q是上述轨迹上一点，求Q到点P（m，0）距离的最小值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）设动圆C的圆心C（x，y），由动圆C与定圆x²+y²=1内切，与直线x=3相切．可得3-x=

x2+y2

+1，
化简即可得出，或利用抛物线的定义直接得出．
（2）设Q（x，y），则y²=-4（x-1）．（x≤1）．可得|PQ|²=[x-（m+2）]²-4m．对m分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）设动圆C的圆心C（x，y），由动圆C与定圆x²+y²=1内切，与直线x=3相切．
∴3-x=

x2+y2

+1，
化为y²=-4（x-1）．（x≤1）．
（2）设Q（x，y），则y²=-4（x-1）．（x≤1）．
∴|PQ|²=（x-m）²+y²=（x-m）²-4（x-1）
=[x-（m+2）]²-4m．
当m≥-1时，x=1时上式取得最小值（m-1）²，即|PQ|取得最小值|m-1|．
当m＜-1时，x=m+2时上式取得最小值-4m，即|PQ|取得最小值2

-m

．

点评：本题考查了圆的位置关系及其性质、直线与圆相切、两点之间的距离公式、抛物线的定义及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．