Question

（2012•莆田模拟）下列方程所表示的直线能与抛物线x2=

5

y与曲线y²-x²=1（y≤-1）都相切的是（　　）

• A．x-y-

  5

  4

  =0
• B．x-

  5

  y-

  1

  4

  =0
• C．2x-

  5

  y-1=0
• D．2x-y-

  5

  =0

Answer 1

分析：假设直线方程，分别与抛物线x2=

5

y、曲线y²-x²=1（y≤-1）联立，利用判别式，代入验证，即可求得结论．

解答：解：设切线方程为y=kx+b，代入抛物线方程可得x2-

5

kx-

5

b=0，∴△₁=5k2+4

5

b=0，∴k2=-

4 5

5

b
y=kx+b，代入曲线y²-x²=1（y≤-1）可得（k²-1）x²+2kx+b²-1=0，∴△₂=4k²-4（k²-1）（b²-1）=0
代入验证，对于A，k=1，b=-

5

4

，此时△₁=0，△₂≠0；
对于B，k=

1

5

，b=-

1

4 5

，此时△₁=0，△₂≠0；
对于C，k=

2

5

，b=-

1

5

，此时△₁=0，△₂=0；
对于D，k=2，b=-

5

，此时△₁=0，△₂≠0；
故选C．

点评：本题考查直线与曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．