Question

如图，在△ABC中，B=

π

4

，角A的平分线AD交BC于点D，设∠BAD=α，sinα=

5

5

．
（Ⅰ）求sinC；   
（Ⅱ）若

BA

•

BC

=28，求AC的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由α为三角形BAD中的角，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而利用二倍角的正弦函数公式求出sin∠BAC与cos∠BAC的值，即为sin2α与cos2α的值，sinC变形为sin[π-（

π

4

+2α）]，利用诱导公式，以及两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出sinC的值；
（Ⅱ）利用正弦定理列出关系式，将sinC与sin∠BAC的值代入得出AB=

7 2

8

BC，利用平面向量的数量积运算法则化简已知等式左边，将表示出的AB代入求出BC的长，再利用正弦定理即可求出AC的长．

解答：解：（Ⅰ）∵α∈（0，

π

2

），sinα

5

5

，
∴cosα=

1-sin2α

=

2 5

5

，
∴sin∠BAC=sin2α=2sinαcosα=2×

5

5

×

2 5

5

=

4

5

，
cos∠BAC=cos2α=2cos²α-1=2×

4

5

-1=

3

5

，
∴sinC=sin[π-（

π

4

+2α）]=sin（

π

4

+2α）=

2

2

（cos2α+sin2α）=

2

2

×（

3

5

+

4

5

）=

7 2

10

；
（Ⅱ）由正弦定理，得

AB

sinC

=

BC

sin∠BAC

，
即

AB

7 2 10

=

BC

4 5

，
∴AB=

7 2

8

BC，
又

BA

•

BC

=28，
∴AB×BC×

2

2

=28，
由上两式解得：BC=4

2

，
由

AC

sinB

=

BC

sin∠BAC

，
得：

AC

2 2

=

BC

4 5

，
∴AC=5．

点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．