Question

已知函数f（x）的图象与函数h(x)=x+

1

x

+2的图象关于点A（0，1）对称．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若g(x)=f(x)+

a

x

，且g(x)在区间(0，2]上的值不小于6，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设f（x）图象上任一点坐标为（x，y），利用点（x，y）关于点A（0，1）的对称点（-x，2-y）在h（x）的图象上，结合函数解析式，即可求得结论；
（Ⅱ）题意可转化为g(x)=x+

a+1

x

≥6（x∈（0，2]）恒成立，利用分离参数法，再求出函数的最值，从而可求实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设f（x）图象上任一点坐标为（x，y），点（x，y）关于点A（0，1）的对称点（-x，2-y）在h（x）的图象上…（3分）
∴2-y=-x+

1

-x

+2，
∴y=x+

1

x

，∴f(x)=x+

1

x

…（6分）
（Ⅱ）由题意g(x)=x+

a+1

x

，∴g(x)=x+

a+1

x

≥6
∵x∈（0，2]，∴a+1≥x（6-x），即a≥-x²+6x-1，…（9分）
令q（x）=-x²+6x-1=-（x-3）²+8（x∈（0，2]），
∴x∈（0，2]时，q（x）_max=7…（11分）
∴a≥7…（12分）

点评：本题考查函数图象的对称性，考查函数解析式求解，考查恒成立问题，分离参数、求最值是关键．