Question

14．如图所示，已知∠B=30°，∠AOB=90°，点C在AB上，OC⊥AB，点D为OB中点，OC与AD相交点H，用$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$来表示向量$\overrightarrow{OH}$，则$\overrightarrow{OH}$等于$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{OB}$．

Answer 1

分析 建立平面直角坐标系，求出点H的坐标，写出向量$\overrightarrow{OH}$，再用向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$表示出$\overrightarrow{OH}$即可．

解答 解：建立平面直角坐标系，如图所示，
设OA=1，则OB=$\sqrt{3}$，AB=2，AC=$\frac{1}{2}$；
∴O（0，0），A（1，0），B（0，$\sqrt{3}$），D（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），C（$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
又直线OC的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，AD的方程为x+$\frac{2y}{\sqrt{3}}$=1，
两方程联立，解得x=$\frac{3}{5}$，y=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，
∴$\overrightarrow{OH}$=（$\frac{3}{5}$，$\frac{\sqrt{3}}{5}$），
又$\overrightarrow{OA}$=（1，0），$\overrightarrow{OB}$=（0，$\sqrt{3}$）；
∴$\overrightarrow{OH}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{OB}$．
故答案为：$\frac{3}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{5}\overrightarrow{OB}$．

点评 本题考查了平面向量的应用问题，解题时应建立适当的坐标系，是综合性题目．