Question

12．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞3）=a，P（1＜ξ≤3）=b，则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值是3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞3）=a，P（1＜ξ≤3）=b，得出2a+b=1，a＞0．b＞0，再用“1”的代换，利用基本不等式，可得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值．

解答 解：因为随机变量ξ服从正态分布N（2，9），
所以正态曲线关于直线x=2对称，所以P（ξ＞3）=P（ξ＜1）=a，
则有2a+b=1，a＞0．b＞0，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）（2a+b）=3+$\frac{b}{a}$+$\frac{2a}{b}$≥3+2$\sqrt{2}$，
当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{2a}{b}$，即b=$\sqrt{2}$a时，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值是3+2$\sqrt{2}$．
故答案为：3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查正态曲线的性质，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．