Question

1．已知恒等式（1+x+x²）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ．
（1）求a₁+a₂+a₃+…+a_2n和a₂+2a₃+2²a₄+…+2^2n-2a_2n的值；
（2）当n≥6时，求证：${A}_{2}^{2}$a₂+2A${\;}_{3}^{2}$a₃+…+2^2n-2${A}_{2n}^{2}$a_2n＜49^n-2．

Answer 1

分析 （1）令x=0，则a₀=1．令x=1，a₀+a₁+a₂+…+a_2n=3ⁿ，可得a₁+a₂+…+a_2n．由（1+x+x²）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ．两边对x求导可得：n（1+2x）（1+x+x²）^n-1=a₁+2a₂x+…+2na_2nx^2n-1．令x=0，可得n=a₁，由（1+x+x²）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ．令x=2，可得$\frac{1}{4}$×7ⁿ=$\frac{1}{4}{a}_{0}$+$\frac{1}{2}{a}_{1}$+a₂+2a₃+…+2^2n-2a_2n．即可得出．
（2）（1+x+x²）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ．由（1）可得：n（1+x+x²）^n-1（1+2x）=a₁+2a₂x+…+2na_2nx^2n-1，两边对x求导可得：n[（n-1）（1+2x）²+2]（1+x+x²）^n-2=2a₂+3×2a₃x+…+2n（2n-1）a_2nx^2n-2，令x=2可得：${A}_{2}^{2}$a₂+2A${\;}_{3}^{2}$a₃+…+2^2n-2${A}_{2n}^{2}$a_2n=n[25（n-1）+2]×7^n-2，n≥6时，n[25（n-1）+2]＜7^n-2，即可证明．

解答 （1）解：令x=0，则a₀=1．
令x=1，则a₀+a₁+a₂+…+a_2n=3ⁿ，∴a₁+a₂+…+a_2n=3ⁿ-1．
∵（1+x+x²）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ．
∴两边对x求导可得：n（1+2x）（1+x+x²）^n-1=a₁+2a₂x+…+2na_2nx^2n-1．
令x=0，则n=a₁，
由（1+x+x²）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ．
令x=2，则$\frac{1}{4}$×7ⁿ=$\frac{1}{4}{a}_{0}$+$\frac{1}{2}{a}_{1}$+a₂+2a₃+…+2^2n-2a_2n．
∴a₂+2a₃+…+2^2n-2a_2n=$\frac{1}{4}×{7}^{n}$-$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}n$．
（2）证明：∵（1+x+x²）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ．
∴两边对x求导可得：n（1+x+x²）^n-1（1+2x）=a₁+2a₂x+…+2na_2nx^2n-1，
再一次求导可得：n[（n-1）（1+2x）²+2]（1+x+x²）^n-2=2a₂+3×2a₃x+…+2n（2n-1）a_2nx^2n-2，
${A}_{k}^{2}$=k（k-1），
令x=2可得：${A}_{2}^{2}$a₂+2A${\;}_{3}^{2}$a₃+…+2^2n-2${A}_{2n}^{2}$a_2n=n[25（n-1）+2]×7^n-2，
n≥6时，n[25（n-1）+2]＜7^n-2，
∴${A}_{2}^{2}$a₂+2A${\;}_{3}^{2}$a₃+…+2^2n-2${A}_{2n}^{2}$a_2n=n[25（n-1）+2]×7^n-2＜49^n-2．

点评 本题考查了二项式定理的应用、导数的运算法则、取特殊值法，考查了分析问题与解决问题的能力、推理能力与计算能力，属于难题．