Question

10．已知f（x）=x³+log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），则对任意实数a，b而言，命题“a+b＞0”是命题“f（a）+f（b）≥0”的（　　）条件．

• A． 充分必要
• B． 充分非必要
• C． 必要非充分
• D． 既不充分也不必要

Answer 1

分析 根据函数的单调性以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．

解答 解：f（x）定义域为R，f（x）+f（-x）=x³+（-x）³+log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）+log₂（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=0，
则f（x）为奇函数，x＞0时，根据复合函数“同增异减”原则以及函数四则运算容易看出f（x）=x³+log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），单调递增，
又因为奇函数，因此f（x）在R单调递增，
a+b＞0⇒f（a）＞f（-b）⇒f（a）+f（b）≥0，故：命题“a+b＞0”可以推出命题“f（a）+f（b）≥0”
若a=b=0，“f（a）+f（b）≥0”成立，但并不能推出“a+b＞0”，
故命题“a+b＞0”是命题“f（a）+f（b）≥0”的充分非必要条件，
故选：B

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．