已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.A.B 为其左右顶点.P是椭圆上异于A.B一点.直线AP与直线x=a交于点M.AP.BP 的斜率乘积为$-\frac{1}{2}$．(Ⅰ)求椭圆的离心率,(Ⅱ)当点M纵坐标为$2\sqrt{6}$时.AM=4AP.求椭圆的方程,(Ⅲ)若a=2.过M作直线BP的垂线l.问直线l是否恒过定点?若过定点.求出定点坐标,若不� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

1．

已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，A，B 为其左右顶点，P是椭圆上异于A，B一点，直线AP与直线x=a交于点M，AP，BP 的斜率乘积为$-\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）当点M纵坐标为$2\sqrt{6}$时，AM=4AP，求椭圆的方程；
（Ⅲ）若a=2，过M作直线BP的垂线l，问直线l是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

分析（Ⅰ）由题意可得A，B的坐标，设出P的坐标，由P在椭圆上及AP，BP 的斜率乘积为$-\frac{1}{2}$列式求得椭圆的离心率；
（Ⅱ）由题意M（a，2$\sqrt{6}$），求出|AM|，求出AM所在直线的斜率，得到直线方程，与椭圆方程联立，求出P的横坐标，进一步得到|AP|，由AM=4AP可得b，结合（Ⅰ）求得a，则椭圆方程可求；
（Ⅲ）设AP斜率为k，则AP方程为y=k（x+2），由a=2，得到M的坐标，由AP，BP 的斜率乘积为$-\frac{1}{2}$，可得直线BP的斜率为$-\frac{1}{2k}$，过M垂直于BP的直线l的斜率为2k，直线方程为y-4k=2k（x-2），由此说明直线恒过坐标原点O（0，0）．

解答解：（Ⅰ）由题意，得：A（-a，0），B（a，0），设P（x₀，y₀），
由点P为椭圆C上一点可得${{y}_{0}}^{2}=\frac{{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}•{b}^{2}$，①
∵直线PA与PB的斜率乘积是-$\frac{1}{2}$，∴$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}=-\frac{1}{2}$，②
联立①②得：$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，∴$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（Ⅱ）由题意M（a，2$\sqrt{6}$），|AM|=$\sqrt{4{a}^{2}+24}$，${k}_{AM}=\frac{2\sqrt{6}}{2a}=\frac{\sqrt{6}}{a}$，
AM所在直线方程为：y=$\frac{\sqrt{6}}{a}（x+a）$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{6}}{a}（x+a）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，消去y得：（b²+6）x²+12ax+6a²-a²b²=0．
∴-a${x}_{P}=\frac{{a}^{2}（6-{b}^{2}）}{{b}^{2}+6}$，得${x}_{P}=-\frac{a（6-{b}^{2}）}{6+{b}^{2}}$，
∴|AP|=$\frac{a|6-{b}^{2}|}{6+{b}^{2}}•\frac{\sqrt{4{a}^{2}+24}}{2a}=\frac{|6-{b}^{2}|\sqrt{{a}^{2}+6}}{6+{b}^{2}}$，
由AM=4AP，得$\sqrt{4{a}^{2}+24}=4\frac{|6-{b}^{2}|\sqrt{{a}^{2}+6}}{6+{b}^{2}}$，即6+b²=2|6-b²|，
解得：b²=2或b²=12．
由（Ⅰ）知，a²=2b²，∴a²=4或a²=24．
∴题意方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$或$\frac{{x}^{2}}{24}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（Ⅲ）若a=2，由（Ⅰ）得，b²=2，则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
设AP斜率为k，则AP方程为y=k（x+2），联立$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=k（x+2）}\end{array}\right.$，得M（2，4k），
直线BP的斜率为$-\frac{1}{2k}$，过M垂直于BP的直线l的斜率为2k，直线方程为y-4k=2k（x-2），
即y=2kx，直线恒过坐标原点O（0，0）．

点评本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．

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