Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是直角三角形，AC=BC=AA₁=2，D为侧棱AA₁的中点．
（1）求异面直线DC₁，B₁C所成角的余弦值；
（2）求二面角B₁-DC-C₁的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以C为原点，CA、CB、CC₁为坐标轴，建立空间直角坐标系C-xyz，写出要用的点的坐标，写出两个向量的方向向量，根据两个向量所成的角得到两条异面直线所成的角．
（2）先求两个平面的法向量，在第一问的基础上，有一个平面的法向量是已知的，只要写出向量的表示形式就可以，另一个平面的向量需要求出，根据两个法向量所成的角得到结果．

解答：解：（1）如图所示，以C为原点，CA、CB、CC₁为坐标轴，建立空间直角坐标系
C-xyz．
则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C₁（0，0，2），B₁（0，2，2），D（2，0，1）．
所以

DC1

=（-2，0，1），

B1C

=（0，-2，-2）． 
所以cos＜

DC1

，

B1C

＞=

DC1• B1C

| DC1 || B1C |

=

-2

5 × 8

=-

10

10

．
即异面直线DC₁与B₁C所成角的余弦值为

10

10

．
（2）因为

CB

=（0，2，0），

CA

=（2，0，0），

CC1

=（0，0，2），
所以

CB

•

CA

=0，

CB

•

CC1

=0，
所以

CB

为平面ACC₁A₁的一个法向量．         
因为

B1C

=（0，-2，-2），

CD

=（2，0，1），
设平面B₁DC的一个法向量为n，n=（x，y，z）．
由

n• B1C =0 n• CD =0

，得

-2y-2z=0 2x+z=0

令x=1，则y=2，z=-2，n=（1，2，-2）．
所以cos＜n，

CB

＞=

n• CB

|n|•| CB |

=

4

3×2

=

2

3

．
所以二面角B₁-DC-C₁的余弦值为

2

3

．

点评：本题考查利用空间向量解决几何体中的夹角问题，包括两条异面直线的夹角和两个平面的夹角，本题解题的关键是建立坐标系．