Question

20．若0＜x＜1，a=$\sqrt{\frac{sinx}{x}}$，b=$\frac{sinx}{x}$，c=$\frac{sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$，则a，b，c的大小关系为a＞b＞c．

Answer 1

分析 通过研究函数y=$\frac{sinx}{x}$的单调性，即可求得y=$\frac{sinx}{x}$在（0，1）上的值域，通过a与b的比较，b与c的比较即可得出a，b，c三者之间的关系．

解答 解：设y=$\frac{sinx}{x}$，则y′=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$，
t（x）=xcosx-sinx，t′=-xsinx，
∵0＜x＜1，∴t（x）′＜0，
∴函数t（x）=xcosx-sinx在（0，1）上单调递减，
又t（0）=0，t（1）=cos1-sin1＜0，
∴y′＜0对0＜x＜1恒成立，
故y=$\frac{sinx}{x}$在0＜x＜1单调递减．
∵0＜x＜1，∴$\sqrt{x}$＞x，
∴$\frac{sinx}{x}$＞$\frac{sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$，
∴b＞c
又在0＜x＜1上，0＜$\frac{sinx}{x}$＜1，
∴$\sqrt{\frac{sinx}{x}}$＞$\frac{sinx}{x}$，
∴a＞b，
∴a＞b＞c．
故答案为：a＞b＞c．

点评 本题考查学生比较大小的能力，考查学生灵活转化题目条件并设立新函数解决问题的能力，属于中档题．