【题目】记无穷数列的前
项中最大值为
,最小值为
,令
.
(1)若,写出
,
,
,
的值;
(2)设,若
,求
的值及
时数列
的前
项和
;
(3)求证:“数列是等差数列”的充要条件是“数列
是等差数列”.
【答案】(1),(2)见解析(3)见解析
【解析】
(1)分别计算出,
,
,
结合题意即可得b1,b2,b3,b4的值;
(2)由新定义,可得λ>0,考虑三种情况求得λ,检验可得所求λ;进而得到bn,由数列的分组求和,可得所求和;
(3)充分性易证,无论d为何值,始终有bn,即可证得结果,必要性须分类证明.
解:(1) 因为,所以
,
所以,
(2),
当时,
,无解;
当时,
,无解;
当时,
,解得
;
当时,
无解,
此时,
当时,
,
所以当时
递增,
,
所以当时,
(3)必要性:数列是等差数列,设其公差为
.
当时
是递增数列;当
时
是常数列;当
时,
是递减数列;
都有,
所以数列是等差数列.
充分性:数列是等差数列,设其公差为
则,
由题意知,,
当时,
对任意
都成立,
即,所以
是递增数列,
,
所以是公差为
的等差数列,
当时,
,进而
所以是递减数列,
,
,
所以是公差为
的等差数列
当时,
,
因为与
中至少有一个为
,所以二者都为
,
进而得为常数列,
综上,充分性成立.
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【题目】己知直线2x﹣y﹣1=0与直线x﹣2y+1=0交于点P.
(Ⅰ)求过点P且平行于直线3x+4y﹣15=0的直线的方程;(结果写成直线方程的一般式)
(Ⅱ)求过点P并且在两坐标轴上截距相等的直线方程(结果写成直线方程的一般式)
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【题目】有下列命题:
①在函数的图象中,相邻两个对称中心的距离为
;
②函数的图象关于点
对称;
③“且
”是“
”的必要不充分条件;
④在中,若
,则角
等于
或
.
其中是真命题的序号为_____________.
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【题目】已知平面直角坐标系中,过点
的直线l的参数方程为
(t为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为
与曲线C相交于不同的两点M,N.
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(2)若,求实数a的值.
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【题目】个人排成一排,在下列情况下,各有多少种不同排法?
(1)甲不在两端;
(2)甲、乙、丙三个必须在一起;
(3)甲、乙必须在一起,且甲、乙都不能与丙相邻.
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【题目】已知函数f(x)=(kx+)ex﹣2x,若f(x)<0的解集中有且只有一个正整数,则实数k的取值范围为 ( )
A. [ ,
)B. (
,
]
C. [)D. [
)
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