Question

△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，2asinB=

3

b
（1）求A
（2）若a=1，△ABC的面积S=2

3

，求b²+c²．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出sinA的值，即可确定出A的度数；
（2）利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积，将sinA的值与已知面积代入求出bc的值，再利用余弦定理列出关系式，将a，cosA，以及bc的值代入即可求出所求式子的值．

解答： 解：（1）已知等式2asinB=

3

b，利用正弦定理化简得：2sinAsinB=

3

sinB，
∵sinB≠0，∴sinA=

3

2

，
则A=

π

3

或

2π

3

；
（2）∵△ABC的面积S=2

3

，
∴

1

2

bcsinA=2

3

，即

1

2

bc•

3

2

=2

3

，
整理得：bc=8，
当a=1，cosA=

1

2

时，由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即1=b²+c²-8，
此时b²+c²=9；
当a=1，cosA=-

1

2

时，由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即1=b²+c²+8，不成立，舍去，
综上，b²+c²=9．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．