Question

椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为，右焦点F与点 的距离为2。

(1)求椭圆的方程；

(2)是否存在斜率 的直线使直线与椭圆相交于不同的两点M,N满足，若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由。

 

 

Answer 1

(1) (2) 存在;或。

【解析】

试题分析：(1) 依题意，设椭圆方程为，然后解关于a、b、c的方程组即可．

(2) 由知点在线段的垂直平分线上，由消去得

转化为方程有两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系，代入方程求出k即可．

(1)依题意，设椭圆方程为，则其右焦点坐标为 ，由，得，即，解得。 又 ∵ ，∴ ，即椭圆方程为。 (4分)

（2）方法一:由知点在线段的垂直平分线上，由消去得即 （*） ( 5分)

由,得方程(*)的,即方程(*)有两个不相等的实数根。 (6分)

设、，线段MN的中点，则，，

，即

，∴直线的斜率为， (9分)

由，得，∴ ，解得：， (11分)

∴ l的方程为或。 ( 12分)

方法二:直线l恒过点(0,-2), 且点(0,-2)在椭圆上, ∴不妨设M(0,-2), 则|AM|=4 (6分)

∴|AN|=4, 故N在以A为圆心, 4为半径的圆上,即在的图像上．

联立 化简得 ,解得 (8分)

当y=-2时,N和M重合,舍去．当y=0时,, 因此 (11分)

∴ l的方程为或。 ( 12分)

考点：椭圆的基本性质；根与系数的关系；两直线垂直的充要条件；斜率公式．