Question

2．若函数y=2sin²x+acosx+b的最大值是-$\frac{1}{2}$，最小值是-5，求a，b的值（其中a＞0）．

Answer 1

分析 令t=cosx∈[-1，1]，则函数y=f（t）=-2${（t-\frac{a}{4}）}^{2}$+b+2+$\frac{{a}^{2}}{8}$，它的最大值是-$\frac{1}{2}$，最小值是-5，$\frac{a}{4}$＞0．根据它的最值、利用二次函数的性质、分类讨论求得a、b的值．

解答 解：根据函数y=2sin²x+acosx+b=2-2cos²x+acosx+b=-2${（cosx-\frac{a}{4}）}^{2}$+b+2+$\frac{{a}^{2}}{8}$，
令t=cosx∈[-1，1]，则函数y=f（t）=-2${（t-\frac{a}{4}）}^{2}$+b+2+$\frac{{a}^{2}}{8}$，它的最大值是-$\frac{1}{2}$，最小值是-5．
由a＞0，可得$\frac{a}{4}$＞0．
①当$\frac{a}{4}$∈[0，1]，即 a∈[0，4]时，在[-1，1]上，函数f（t）的最大值为f（$\frac{a}{4}$）=b+2+$\frac{{a}^{2}}{8}$=-$\frac{1}{2}$，最小值f（1）=-2${（1-\frac{a}{4}）}^{2}$+b+2+$\frac{{a}^{2}}{8}$=-5，
求得a=10，b=-$\frac{35}{4}$．
②当$\frac{a}{4}$＞1，即 a＞4时，y在[-1，1]上单调递增，故有最小值f（-1）=-2${（-1-\frac{a}{4}）}^{2}$+b+2+$\frac{{a}^{2}}{8}$=-5，最大值f（1）=-2${（1-\frac{a}{4}）}^{2}$+b+2+$\frac{{a}^{2}}{8}$=-$\frac{1}{2}$，
求得a=-$\frac{9}{4}$（不满足条件舍去）．
综上可得，a=10，b=-$\frac{35}{4}$．

点评 本题主要考查余弦函数的值域，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．