Question

如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC＝a，∠ABC＝θ，设△ABC的面积为S₁，正方形的PQRS面积为S₂.
 
(1)用a，θ表示S₁和S₂；
(2)当a固定，θ变化时，求的最小值．

Answer 1

（1）S₁＝a²sin 2θ，S₂＝（2）

(1)S₁＝asin θ·acos θ＝a²sin 2θ，
设正方形边长为x，则BQ＝，RC＝xtan θ，
∴＋xtan θ＋x＝a，
∴x＝，(4分)
S₂＝，(6分)
(2)当a固定，θ变化时，＝，
令sin 2θ＝t，
则＝ (0＜t≤1)，
利用单调性求得t＝1时，_min＝.(14分)