Question

10．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若四边形AA₁C₁C是边长为4的正方形，且AB=3，BC=5，M是AA₁的中点，则三棱锥A₁-MBC₁的体积为4．

Answer 1

分析 推导出A₁C₁⊥平面A₁MB，从而三棱锥A₁-MBC₁的体积${V}_{{A}_{1}-MB{C}_{1}}$=${V}_{{C}_{1}-{A}_{1}MB}$，由此能求出结果．

解答 解：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若四边形AA₁C₁C是边长为4的正方形，且AB=3，BC=5，
∴A₁C₁⊥AA₁，AC²+AB²=BC²，∴A₁C₁⊥A₁B₁，
∵AA₁∩A₁B₁=A₁，∴A₁C₁⊥平面A₁MB，
∵M是AA₁的中点，∴${S}_{△{A}_{1}MB}$=$\frac{1}{2}{S}_{△A{A}_{1}B}$=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}×3×4）$=3，
∴三棱锥A₁-MBC₁的体积：
${V}_{{A}_{1}-MB{C}_{1}}$=${V}_{{C}_{1}-{A}_{1}MB}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△{A}_{1}MB}×{A}_{1}{C}_{1}$=$\frac{1}{3}×3×4$=4．
故答案为：4．

点评 本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．