Question

【题目】如图，平面四边形为直角梯形，，，，将绕着翻折到.

（1）为上一点，且，当平面时，求实数的值；

（2）当平面与平面所成的锐二面角大小为时，求与平面所成角的正弦.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）连接交于点，连接，利用线面平行的性质定理可推导出，然后利用平行线分线段成比例定理可求得的值；

（2）取中点，连接、，过点作，则，作于，连接，推导出，，可得出为平面与平面所成的锐二面角，由此计算出、，并证明出平面，可得出直线与平面所成的角为，进而可求得与平面所成角的正弦值.

（1）连接交于点，连接，

平面，平面，平面平面，，

在梯形中，，则，，

，，所以，；

（2）取中点，连接、，过点作，则，作于，连接.

为的中点，且，，且，

所以，四边形为平行四边形，由于，，

，，，，，

为的中点，所以，，，同理，

，，，平面，

，，，为面与面所成的锐二面角，

，

，，，则，

，，

平面，平面，，

，，面，

为与底面所成的角，

，，.

在中，.

因此，与平面所成角的正弦值为.