Question

5．己知向量$\overrightarrow{s}$=（$\sqrt{3}$sin2x-1，cosx），$\overrightarrow{t}$=（$\frac{1}{2}$，cosx），设f（x）=$\overrightarrow{s}$$•\overrightarrow{t}$+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值；
（2）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中A，B为锐角，f（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{8}{5}$，f（$\frac{B}{2}$$-\frac{π}{12}$）-1=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，又a+b=$\sqrt{2}$+1，求a，b，c的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积的坐标运算与三角函数中的恒等变换应用可求得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，从而可求函数f（x）的最小正周期及在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值．
（2）由f（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{8}{5}$，化简解得cosA，sinA的值，由f（$\frac{B}{2}$$-\frac{π}{12}$）-1=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，可求sinB，cosB的值，利用两角和的余弦函数公式可求cosC，sinC的值，由正弦定理可得a+b=2R（sinA+sinB）=2R（$\frac{\sqrt{5}}{5}$+$\frac{\sqrt{10}}{10}$）=$\sqrt{2}$+1，解得2R的值，利用正弦定理即可依次解得a，b，c的值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow{s}$$•\overrightarrow{t}$+1．
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$+$\frac{1+cos2x}{2}$+1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+1
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1∈[$\frac{1}{2}$，2]，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1的最大值为：2．
（2）∵A，B为锐角，
∴由f（A+$\frac{π}{6}$）=sin[2（A+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]+1=sin（2A+$\frac{π}{2}$）+1=$\frac{8}{5}$，可得：cos2A=$\frac{3}{5}$=2cos²A-1，
解得：cosA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
由f（$\frac{B}{2}$$-\frac{π}{12}$）-1=sin[2（$\frac{B}{2}$$-\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]+1-1=sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，cosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，结合C∈（0，π），可得：C=$\frac{3π}{4}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
∴a+b=2R（sinA+sinB）=2R（$\frac{\sqrt{5}}{5}$+$\frac{\sqrt{10}}{10}$）=$\sqrt{2}$+1，解得：2R=$\sqrt{10}$，
∴a=2RsinA=$\sqrt{10}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\sqrt{2}$，b=2RsinB=$\sqrt{10}$×$\frac{\sqrt{10}}{10}$=1，c=2RsinC=$\sqrt{10}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查向量的数量积的坐标运算与三角函数中的恒等变换应用，考查角函数的周期性与单调性，考查运算求解的能力，属于中档题．