Question

16．已知函数f（x）=$\frac{2x-1}{{e}^{x}-2x+a}$的定义域为R，则a的取值范围是（2ln2-2，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可得，对任意实数x，e^x-2x+a≠0，即a≠2x-e^x，然后利用导数求出函数g（x）=2x-e^x的最大值，则满足题意的实数a的范围可求．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{2x-1}{{e}^{x}-2x+a}$的定义域为R，
∴对任意实数x，e^x-2x+a≠0，即a≠2x-e^x．
令g（x）=2x-e^x，则g′（x）=2-e^x，
当x＜ln2时，g（x）为增函数，当x＞ln2时，g（x）为减函数，
∴当x=ln2时，g（x）有极大值，也是最大值为g（ln2）=2ln2-2．
∴a的取值范围是（2ln2-2，+∞）．
故答案为：（2ln2-2，+∞）．

点评 本题考查函数的定义域及其求法，考查了利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，是中档题．