Question

3．设函数f（x）=x²-2|x|-1．
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）画出函数f（x）的图象，并写出f（x）增区间；
（3）若方程f（x）=a有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据已知中函数解析式可得f（-x）=f（x），结合偶函数定义，可得答案；
（2）根据二次函数的图象和性质，可得函数图象，数形结合，要得函数的单调增区间；
（3）由（2）中的图象可得：当a=-2，或a＞-1时，方程f（x）=a有两个不相等的实数根．

解答 证明：（1）函数f（x）=x²-2|x|-1的定义域R关于原点对称，
又由f（-x）=（-x）²-2|-x|-1=x²-2|x|-1=f（x），
故f（x）是偶函数；
（2）函数f（x）的图象如下图所示：

由图可得：函数f（x）的递增区间为[-1，0]，[1，+∞）
（3）由（2）中的图象可得：
当a=-2，或a＞-1时，方程f（x）=a有两个不相等的实数根．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的图象，函数的单调性，分段函数的应用，难度中档．