Question

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（

3

，0）
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y=kx+

2

与双曲线恒有两个不同的交点A和B，且

OA

•

OB

＞2（其中O为原点），求k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意设出双曲线的方程，再由已知a和c的值求出b²的值，则双曲线C的方程可求；
（2）直接联立直线方程和双曲线方程，化为关于x的方程后由二次项系数不等于0且判别式大于0求解k的取值范围．

解答： 解：（1）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)，
由已知得a=

3

，c=2，
∴b²=c²-a²=1．
∴双曲线C的方程为

x2

3

-y2=1；
（2）将y=kx+

2

代入

x2

3

-y2=1得：
(1-3k2)x2-6

2

kx-9=0，
∵直线l：y=kx+

2

与双曲线C恒有两个不同的交点，
∴

1-3k2≠0 (6 2 k)2+36(1-3k2)＞0

，
解得：-1＜k＜-

3

3

或-

3

3

＜k＜

3

3

或

3

3

＜k＜1．
∴k的取值范围是(-1，-

3

3

)∪(-

3

3

，

3

3

)∪(

3

3

，1)．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用判别式法判断直线与圆锥曲线的交点个数，是中档题．