Question

已知a＞0，f（x）=

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3

a²x³-ax²+

2

3

，g（x）=-ax+1，x∈R．
（1）当 a=1时，求 f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若在区间（0，

1

2

]上至少有一个实数x₀，使 f（x₀）＞g（x₀），求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由导数值即曲线上过该点的切线的斜率求出斜率，后由点斜式写出切线方程；
（2）构造函数F（x）=f（x）-g（x）=

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3

a²x³-ax²+ax-

1

3

x∈（0，

1

2

]，由题意可得，只要F（x）_max＞0即可，列出不等式求得a的范围．

解答： 解：（1）a=1，f（x）=

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3

x³-x²+

2

3

∴f'（x）=x²-2x
∴f'（1）=1-2=-1，f（1）=

1

3

-1+

2

3

=0
因此由点斜式得切线：y=-（x-1）=-x+1．
（2）设F（x）=f（x）-g（x）=

1

3

a²x³-ax²+ax-

1

3

x∈（0，

1

2

]．
对F（x）求导，得F'（x）=a²x²-2ax+a=a²x²+a（1-2x），
因为x∈（0，

1

2

]，a＞0，所以F'（x）=a²x²+a（1-2x）＞0，F（x）在区间（0，

1

2

]上为增函数，则F（x）max=F（

1

2

）．
依题意，只需F（x）_max＞0，即

1

3

a²×

1

8

-a×

1

4

+a×

1

2

-

1

3

＞0，
即a²+6a-8＞0，解得a＞-3+

17

或a＜-3-

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（舍去）．
所以正实数a的取值范围是（-3+

17

，+∞）．

点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握不等式成立时所取的条件，将其转化为求函数的最大值问题解决，考查构造函数法思想的运用．属难题．