Question

4．已知数列{a_n}的前n项和为 S_n，对于任意的正整数n，直线x+y=2n总是把圆 ${（x-n）^2}+{（y-\sqrt{S_n}）^2}=2{n^2}$平均分为两部分，各项均为正数的等比数列 {b_n}中，b₆=b₃b₄，且 b₃和 b₅的等差中项是 2a₃．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_nb_n，求数列 {c_n}的前n项和 T_n．

Answer 1

分析 （1）由直线与圆的位置关系可得S_n=n²，所以a₁=S₁=1，所以a_n=2n-1；由b₆=b₃b₄，得b₁=1，又b₃和b₅的等差中项是2a₃，得q=2，从而${b}_{n}={2}^{n-1}$；
（2）根据T_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）×2^n-1，与2T_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ，可得-T_n，即得T_n=3+（2n-3）2ⁿ．

解答 解：（1）由于x+y=2n总是将圆 ${（x-n）^2}+{（y-\sqrt{S_n}）^2}=2{n^2}$平均分为两部分，
所以$n+\sqrt{{S}_{n}}=2n$，即S_n=n²，所以a₁=S₁=1，
当n≥2时${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={n}^{2}-（n-1）^{2}$=2n-1，
经检验n=1时也成立，所以a_n=2n-1；
等比数列{b_n}中由于b₆=b₃b₄，即${b}_{1}{q}^{5}={b}_{1}{q}^{2}•{b}_{1}{q}^{3}$，故b₁=1，
设公比q＞0，由b₃和b₅的等差中项是2a₃，及2a₃=2×（2×3-1）=10，
可知b₃+b₅=20，所以q²+q⁴=20，解得q=2，从而${b}_{n}={2}^{n-1}$；
（2）若c_n=a_nb_n，则T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，
所以T_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）×2^n-1，
2T_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ，
两式相减，得$-{T}_{n}=1+2（2+{2}^{2}+…+{2}^{n-1}）$-（2n-1）2ⁿ
=$1+2×\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}-（2n-1）{2}^{n}$
=-3+2×2ⁿ-（2n-1）2ⁿ
=-3+（3-2n）2ⁿ，
所以T_n=3+（2n-3）2ⁿ．

点评 本题考查等比数列的通项公式、等差中项的应用、错位相减法求和，考查转化与化归思想、运算求解能力和数据处理能力，属于中档题．