Question

【题目】已知函数（，）

（1）若，求函数的单调区间与极值；

（2）若在区间上至少存在一点，使成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】试题分析：（1）求出的表达式，定义域以及导数，然后判断导函数的符号，求出单调区间．

（2）若在区间上至少存在一点，使成立，其充要条件是在区间上的最小值小于0即可．利用导数研究函数在闭区上的最小值，先求出导函数f，然后讨论研究函数在上的单调性，将的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．

试题解析：（1）当时，，令，解得，又函数的定义域为，由 ，得，由，得，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为，

时，有极小值，无极大值

（2）若在上存在一点，使得成立，即在区间上单调递减

故在区间上的最小值为，

由，得，

当即时，

①若，则对成立，所以在区间上单调递减

则在区间上的最小值为，

显然，在区间的最小值小于不成立.

②若，即时，则有在单减，单增，

所以在区间上的最小值为，由 ，

得，解得，即，综上，.