Question

（2013•西城区一模）已知函数f（x）=e^x+ax，g（x）=ax-lnx，其中a≤0．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）若存在区间M，使f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由导数运算法则知，f'（x）=e^x+a，对字母a进行分类讨论，再利用导数与单调性关系求出极值即可；
（II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数a的值，使函数f（x）和函数g（x）在M上具有相同的单调性，再利用导数工具，求出函数的单调区间，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，且 f'（x）=e^x+a．
①当a=0时，f（x）=e^x，故f（x）在R上单调递增．
从而f（x）没有极大值，也没有极小值．
②当a＜0时，令f'（x）=0，得x=ln（-a）．f（x）和f'（x）的情况如下：

x	（-∞，ln（-a））	ln（-a）	（ln（-a），+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘		↗

故f（x）的单调减区间为（-∞，ln（-a））；单调增区间为（ln（-a），+∞）．
从而f（x）的极小值为f（ln（-a））=-a+aln（-a）；没有极大值．
（Ⅱ）g（x）的定义域为（0，+∞），且 g′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

．
③当a=0时，f（x）在R上单调递增，g（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意．
④当a＜0时，g'（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减．
当-1≤a＜0时，ln（-a）≤0，此时f（x）在（ln（-a），+∞）上单调递增，由于g（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意．
当a＜-1时，ln（-a）＞0，此时f（x）在（-∞，ln（-a））上单调递减，由于g（x）在（0，+∞）上单调递减，符合题意．
综上，a的取值范围是（-∞，-1）．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数、导数、不等式等基础知识，以及综合运用上述知识分析问题和解决问题的能力．