Question

19．已知抛物线C₁的方程为：x²=4y，圆C的方程为：x²+（y+r）²=r²（r＞0），直线l为抛物线C₁和圆C₂的公共切线，切点分别为A及C′，F为抛物线C₁的焦点，连结A，F交抛物线于点B．
（1）当r=1时，求直线l的方程；
（2）用r表示△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）r=1时，圆C的方程为：x²+（y+1）²=1．圆心G（0，-1），半径r=1．设A$（t，\frac{{t}^{2}}{4}）$，对方程：x²=4y，两边求导可得：y′=$\frac{1}{2}x$．可得经过点A的切线l的方程为：2tx-4y-t²=0，再利用直线l与圆C相切的充要条件即可得出．
（2）由（1）直线l与圆相切的性质可得：$\frac{|4r-{t}^{2}|}{\sqrt{4{t}^{2}+16}}$=r，化为：t²=4r²+8r．直线AB的方程为：y=$\frac{\frac{{t}^{2}}{4}-1}{t}$x+1，与抛物线方程联立化为tx²-（t²-4）x-4t=0，利用根与系数的关系可得B$（\frac{-4}{t}，\frac{4}{{t}^{2}}）$．利用点到直线的距离公式可得：点B到切线l的距离d=$\frac{|-8-\frac{16}{{t}^{2}}-{t}^{2}|}{\sqrt{4{t}^{2}+16}}$=$\frac{（r+1）^{3}}{r（r+2）}$．又由|AC|²=|AG|²-r²，可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AC|d．

解答 解：（1）r=1时，圆C的方程为：x²+（y+1）²=1．圆心G（0，-1），半径r=1．
设A$（t，\frac{{t}^{2}}{4}）$，
对方程：x²=4y，两边求导可得：y′=$\frac{1}{2}x$．
∴经过点A的切线l的方程为：$y-\frac{{t}^{2}}{4}$=$\frac{1}{2}$t（x-t），化为：2tx-4y-t²=0，
又直线l与圆C相切可得：$\frac{|4-{t}^{2}|}{\sqrt{4{t}^{2}+16}}$=1，
解得：t=$±2\sqrt{3}$．
∴直线l的方程为：±$\sqrt{3}$x-y-3=0．
（2）F（0，1）．
由（1）可得：$\frac{|4r-{t}^{2}|}{\sqrt{4{t}^{2}+16}}$=r，
化为：t²=4r²+8r．
直线AB的方程为：y=$\frac{\frac{{t}^{2}}{4}-1}{t}$x+1，即y=$\frac{{t}^{2}-4}{4t}$x+1．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{{t}^{2}-4}{4t}x+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，化为tx²-（t²-4）x-4t=0，
∴t•x_B=-4，解得x_B=$\frac{-4}{t}$，∴y_B=$\frac{4}{{t}^{2}}$，∴B$（\frac{-4}{t}，\frac{4}{{t}^{2}}）$．
∴点B到切线l的距离d=$\frac{|-8-\frac{16}{{t}^{2}}-{t}^{2}|}{\sqrt{4{t}^{2}+16}}$=$\frac{{t}^{4}+8{t}^{2}+16}{2{t}^{2}\sqrt{{t}^{2}+4}}$=$\frac{（{t}^{2}+4）^{2}}{2{t}^{2}\sqrt{{t}^{2}+4}}$=$\frac{16（r+1）^{4}}{2（4{r}^{2}+8r）×2（r+1）}$=$\frac{（r+1）^{3}}{r（r+2）}$．
∵|AC|²=|AG|²-r²=${t}^{2}+（\frac{{t}^{2}}{4}+r）^{2}$-r²=${t}^{2}+\frac{{t}^{4}}{16}$+$\frac{{t}^{2}r}{2}$．
∴|AC|=$\frac{\sqrt{{t}^{4}+16{t}^{2}+8{t}^{2}r}}{4}$=$\frac{\sqrt{（4{r}^{2}+8r）（4{r}^{2}+8r+16+8r）}}{4}$=$（r+2）\sqrt{r（r+2）}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AC|d=$\frac{1}{2}$×$（r+2）\sqrt{r（r+2）}$×$\frac{（r+1）^{3}}{r（r+2）}$=$\frac{（r+1）^{3}\sqrt{{r}^{2}+2r}}{2r}$．

点评 本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．