Question

10．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$．
（Ⅰ）求函数y=f（x）在点（1，0）处的切线方程；
（Ⅱ）设实数k使得f（x）＜kx恒成立，求k的取值范围；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）-kx（k∈R），求函数g（x）在区间$[\frac{1}{e}，{e^2}]$上的零点个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1）的值，代入切线方程即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，确定函数的单调性即可；
（Ⅲ）令g（x）=0得：$k=\frac{f（x）}{x}=\frac{lnx}{x^2}$，通过讨论k的范围结合函数的单调性确定函数的零点问题．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\frac{lnx}{x}$$f'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$…2 分，f′（1）=1…（3分）
曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为 y=x-1…（4分）
（Ⅱ）设$h（x）=\frac{f（x）}{x}=\frac{lnx}{x^2}（x＞0）$，则$h'（x）=\frac{1-2lnx}{x^3}（x＞0）$
令$h'（x）=\frac{1-2lnx}{x^3}=0$，解得：$x=\sqrt{e}$…（2分）
当x在（0，+∞）上变化时，h'（x），h（x）的变化情况如下表：

x	$（0，\sqrt{e}）$	$\sqrt{e}$	$（\sqrt{e}，+∞）$
h'（x）	+	0	-
h（x）	↗	$\frac{1}{2e}$	↘

由上表可知，当$x=\sqrt{e}$时，h（x）取得最大值$\frac{1}{2e}$…（4分）
由已知对任意的x＞0，$k＞\frac{f（x）}{x}=h（x）$恒成立
所以，k得取值范围是$（\frac{1}{2e}，+∞）$．                     …（5分）
（Ⅲ）令g（x）=0得：$k=\frac{f（x）}{x}=\frac{lnx}{x^2}$…（1分）
由（Ⅱ）知，$h（x）=\frac{lnx}{x^2}$在$[\frac{1}{e}，\sqrt{e}]$上是增函数，在$[\sqrt{e}，{e^2}]$上是减函数．
且$h（\frac{1}{e}）=-{e^2}$，$h（\sqrt{e}）=\frac{1}{2e}$，$h（{e^2}）=\frac{2}{e^4}$
所以当k＜-e²或$k＞\frac{1}{2e}$时，函数g（x）在$[\frac{1}{e}，{e^2}]$上无零点；
当$-{e^2}≤k＜\frac{2}{e^4}$或$k=\frac{1}{2e}$时，函数g（x）在$[\frac{1}{e}，{e^2}]$上有1个零点；
当$\frac{2}{e^4}≤k＜\frac{1}{2e}$时，函数g（x）在$[\frac{1}{e}，{e^2}]$上有2个零点       …（4分）

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．