Question

20．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，设A（0，b），B（a，0），F₁，F₂，分别是椭圆的左右焦点，且S${\;}_{△AB{F}_{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F₁的直线与以F₂为焦点，顶点在坐标原点的抛物线交于P，Q两点，设$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$，若λ∈[2，3]，求△F₂PQ面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可知b（a-c）=$\sqrt{3}$，a=2c，a²=b²+c²，即可求得a和b的值，求得椭圆C的方程；
（2）设直线PQ方程x=ty-1，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得t的取值范围，利用弦长公式及点到直线的距离公式，即可求得△F₂PQ面积的取值范围．

解答 解：（1）由题意可知S${\;}_{△AB{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$×b（a-c）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则b（a-c）=$\sqrt{3}$，①
椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则a=2c，②
a²=b²+c²，③
解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）以F₂（1，0）为焦点，顶点在坐标原点的抛物线方程为y²=4x，
则直线PQ方程x=ty-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{x=ty-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理y²-4ty+4=0，
由韦达定理y₁+y₂=4t，y₁y₂=4，
由$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$，则y₁=λy₂，
则（λ+1）y₂=4t，λy₂²=4，
消去y₂得，t²=$\frac{（λ+1）^{2}}{4λ}$=$\frac{1}{4}$（λ+$\frac{1}{λ}$+2），
由λ∈[2，3]，则t²∈[$\frac{9}{8}$，$\frac{4}{3}$]，
则F₂（1，0）到直线PQ方程x=ty-1的距离d=$\frac{2}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，
丨PQ丨=$\sqrt{1+{t}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+{t}^{2}}$•$\sqrt{16{t}^{2}-16}$，
∴△F₂PQ面积S=$\frac{1}{2}$×d×丨PQ丨=$\sqrt{16{t}^{2}-16}$，
由t²∈[$\frac{9}{8}$，$\frac{4}{3}$]，则S∈[$\sqrt{2}$，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$]，
△F₂PQ面积的取值范围[$\sqrt{2}$，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$]．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．