Question

5．（1）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若b+c=2a，3sin A=5sin B，求角C的值．．
（2）如图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为$\frac{\sqrt{3}}{2}$km，∠ADB=∠CDB=30°，∠ACD=60°，∠ACB=45°，求A、B两点间的距离．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可求b=$\frac{3a}{5}$，c=$\frac{7a}{5}$，利用余弦定理可求cosC=-$\frac{1}{2}$，结合范围C∈（0，180°），可求C．
（2）由已知可求∠CBD，由正弦定理得BC的值，进而求得AC，利用余弦定理可求AB的值．

解答 解：（1）∵b+c=2a，3sin A=5sin B，即3a=5b，
∴b=$\frac{3a}{5}$，c=$\frac{7a}{5}$，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=-$\frac{1}{2}$．
∵C∈（0°，180°），
∴C=120°．
（2）在△BDC中，∠CBD=180°-30°-105°=45°，
由正弦定理得$\frac{BC}{sin30°}$=$\frac{CD}{sin45°}$，
则BC=$\frac{CDsin30°}{sin45°}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$（km）．
在△ACD中，∠CAD=180°-60°-60°=60°，
∴△ACD为正三角形．∴AC=CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（km）．
在△ABC中，由余弦定理得：
AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cos 45°
=$\frac{3}{4}$+$\frac{6}{16}$-2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{6}}{4}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3}{8}$，
∴AB=$\frac{\sqrt{6}}{4}$（km）．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想、数形结合思想的应用，属于基础题．