Question

14．已知数列{a_n}满足a_n+1-a_n=1，a₁=1，试比较$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{2^n}}}}$与$\frac{n+2}{2}（n∈{N^*}）$的大小并证明．

Answer 1

分析 先求出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明即可

解答 解：a_n+1-a_n=1，a₁=1，
∴数列的通项公式为a_n=n，
要证$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{2^n}}}}$≥$\frac{n+2}{2}$
只要证1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$≥$\frac{n+2}{2}$，
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，1+$\frac{1}{2}$=$\frac{1+2}{2}$，结论成立，
（2）假设n=k时成立，即1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$≥$\frac{k+2}{2}$，
则当n=k+1时，1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$＞$\frac{k+2}{2}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$，
＞$\frac{k+2}{2}$+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$，
＞$\frac{k+2}{2}$+$\frac{{2}^{k}}{{2}^{k+1}}$=$\frac{k+3}{2}$，
即当n=k+1时，结论成立，
综上（1）（2）可知，对一切正整数，都有1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$≥$\frac{n+2}{2}$

点评 本题考查的知识点是数学归纳法，由数学归纳法的步骤，我们先判断n=1时成立，然后假设当n=k时成立，只要能证明出当n=k+1时，结论成立，立即可得到所有的正整数n都成立．