Question

14．已知函数$f（x）=2sinxcosx+2\sqrt{3}{cos^2}x-\sqrt{3}$．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；
（2）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a=7，若锐角A满足$f（\frac{A}{2}-\frac{π}{6}）=\sqrt{3}$，且$sinB+sinC=\frac{{13\sqrt{3}}}{14}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）运用二倍角的正弦公式和余弦公式，以及两角和的正弦公式，由正弦函数的周期公式及单调递减区间，解不等式可得；
（2）由条件$f（\frac{A}{2}-\frac{π}{6}）=\sqrt{3}$，可得角A，再运用正弦定理可得b+c=13，由余弦定理，可得bc=40，由三角形的面积公式计算即可得到所求．

解答 解：（1）$f（x）=2sinxcosx+2\sqrt{3}{cos^2}x-\sqrt{3}=sin2x+\sqrt{3}cos2x$=$2sin（2x+\frac{π}{3}）$，
因此f（x）的最小正周期为$T=\frac{2π}{2}=π$．
由$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，可得kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，k∈Z，
即f（x）的单调递减区间为$x∈[kπ+\frac{π}{12}，kπ+\frac{7π}{12}]$（k∈Z）；
（2）由$f（\frac{A}{2}-\frac{π}{6}）=2sin（2（\frac{A}{2}-\frac{π}{6}）+\frac{π}{3}）=2sinA=\sqrt{3}$，
又A为锐角，则$A=\frac{π}{3}$．
由正弦定理可得$2R=\frac{a}{sinA}=\frac{7}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=\frac{14}{{\sqrt{3}}}$，
$sinB+sinC=\frac{b+c}{2R}=\frac{{13\sqrt{3}}}{14}$，
则$b+c=\frac{{13\sqrt{3}}}{14}•\frac{14}{{\sqrt{3}}}=13$，
由余弦定理可知，$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{{{{（b+c）}^2}-2bc-{a^2}}}{2bc}=\frac{1}{2}$，
可求得bc=40，
故${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=10\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查三角函数的化简运算，以及三角函数的性质，并借助正弦和余弦定理考查边角关系的运算，对考生的化归与转化能力有较高要求．