Question

已知f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为

π

2

．若M（

2π

3

，-2）为图象上一个最低点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）图象的对称轴方程和对称中心坐标；
（3）已知x∈（0，

π

2

）求函数y=f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意求得周期，由周期公式求得ω，结合M（

2π

3

，-2）为图象上一个最低点求得A和φ；
（2）直接由相位的终边在y轴及x轴上求函数y=f（x）图象的对称轴方程和对称中心坐标；
（3）由x的范围求得相位的范围，进一步求得函数的值域．

解答： 解：（1）由题意知

T

2

=

π

2

，∴T=π，
即

2π

ω

=π，故ω=2，
又A=2且2sin(2×

2π

3

+φ)=-2，
φ=

π

6

+2kπ，k∈Z，
∵0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

6

，
∴函数解析式是f(x)=2sin(2x+

π

6

)；
（2）令2x+

π

6

=

π

2

+kπ，得x=

π

6

+

kπ

2

，k∈Z，
即函数y=f（x）图象的对称轴方程为x=

π

6

+

kπ

2

，k∈Z；
令2x+

π

6

=π+kπ，得x=

5π

12

+

kπ

2

，k∈Z，
∴函数y=f（x）图象的对称中心坐标为（

5π

12

+

kπ

2

，0），k∈Z；
（3）∵x∈(0，

π

2

)，
∴2x+

π

6

∈(

π

6

，

7π

6

)，
∴sin(2x+

π

6

)∈(-

1

2

，1]，
∴函数的值域为（-1，2]．

点评：本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数图象的求法，考查了三角函数的性质，训练了函数值域的求法，是中档题．