Question

8．已知各项都不相等的等差数列{a_n}满足a₄=10，且a₁，a₂，a₆成等比数列．若${{b}_{n}}={{2}^{{{a}_{n}}}}$+2n，则数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{2}{7}（{{8}^{n}}-1）+n（n+1）$．

Answer 1

分析 由等比数列等比中项的性质，（a₄-3d）•（a₄+2d）=（a₄-2d）²，求得d，根据等差数列的通项公式的性质，求得a_n和b_n的通项公式，根据等比数列和等差数列的前n项和公式，即可求得数列{b_n}的前n项和S_n．

解答 解：由{a_n}成等差数列且a₁，a₂，a₆成等比数列，
∴（a₄-3d）•（a₄+2d）=（a₄-2d）²，即（10-3d）•（10+2d）=（10-2d）²，
整理得：d²=3d，由d≠0，
解得：d=3，
∴a_n=a₄+3（n-4）×3=3n-2，
${{b}_{n}}={{2}^{{{a}_{n}}}}$+2n=2^3n-2+2n，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=b₁+b₂+…+b_n
=（2+2⁴+2⁷+…+2^3n-2）+2（1+2+…+n）
=$\frac{2（1-{8}^{n}）}{1-8}$+2•$\frac{n（1+n）}{2}$，
=$\frac{2}{7}$（8ⁿ-1）+n（n+1），
故答案为：$\frac{2}{7}（{{8}^{n}}-1）+n（n+1）$．

点评 本题主要考查等比数列，等差数列的通项公式，求和公式的应用，考查计算能力，属于中档题．