Question

已知数列{an}成等比数列，且an＞０．

（1）若a2－a1=8，a3=m．

①当m=48时，求数列{an}的通项公式；

②若数列{an}是唯一的，求m的值；

（2）若a2k＋a2k－1＋ ＋ak＋1－ (ak＋ak－1＋ ＋a1 )＝8，k∈N*，求a2k＋1＋a2k＋2＋ ＋a3k的最小值．

 

Answer 1

（1）①an＝8(2－)(3＋)n-1，或an＝8(2＋)(3－)n-1，②an＝2n＋2．．（2）32．．

【解析】

试题分析：（1）①确定等比数列通项，只需确定首项及等比，这需两个独立条件．由a2－a1＝8，a3＝m＝48，得解之，得 或所以数列{an}的通项公式为an＝8(2－)(3＋)n-1，或an＝8(2＋)(3－)n-1．②正确理解数列{an}是唯一的的含义，即关于a1与q的方程组有唯一正数解，即方程8q2－mq＋m＝0有唯一解．由△＝m2－32m＝0，a3＝m＞0，所以m＝32，此时q＝2．经检验，当m＝32时，数列{an}唯一，其通项公式是an＝2n＋2．（2）由a2k＋a2k－1＋ ＋ak＋1－ (ak＋ak－1＋ ＋a1 )＝8，得a1(qk－1)(qk－1＋qk－2＋ ＋1)＝8，且q＞1．a2k＋1＋a2k＋2＋ ＋a3k＝a1q2k(qk－1＋qk－2＋ ＋1) ＝＝≥32，当且仅当 ，即q＝，a1＝8(－1)时，a2k＋1＋a2k＋2＋ ＋a3k的最小值为32.

【解析】
设公比为q，则由题意，得q＞0．

（1）①由a2－a1＝8，a3＝m＝48，得

解之，得 或

所以数列{an}的通项公式为

an＝8(2－)(3＋)n-1，或an＝8(2＋)(3－)n-1． 5分

②要使满足条件的数列{an}是唯一的，即关于a1与q的方程组有唯一正数解，即方程8q2－mq＋m＝0有唯一解．

由△＝m2－32m＝0，a3＝m＞0，所以m＝32，此时q＝2．

经检验，当m＝32时，数列{an}唯一，其通项公式是an＝2n＋2． 10分

（2）由a2k＋a2k－1＋ ＋ak＋1－ (ak＋ak－1＋ ＋a1 )＝8，

得a1(qk－1)(qk－1＋qk－2＋ ＋1)＝8，且q＞1． 13分

a2k＋1＋a2k＋2＋ ＋a3k＝a1q2k(qk－1＋qk－2＋ ＋1)

＝＝≥32，

当且仅当 ，即q＝，a1＝8(－1)时，

a2k＋1＋a2k＋2＋ ＋a3k的最小值为32． 16分

考点：数列综合应用