Question

【题目】已知为正整数，数列满足， ，设数列满足

（1）求证：数列为等比数列；

（2）若数列是等差数列，求实数的值；

（3）若数列是等差数列，前项和为，对任意的，均存在，使得成立，求满足条件的所有整数的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.

【解析】试题分析：

（1）由，可得，两边开方得，于是证得数列为等比数列．（2）由（1）可得，故，从而可得数列的通项公式，根据等差数列可得，由此求得或，然后分别验证可得符合条件．（3）由题意可得有成立，即对任意的，均存在成立，且为正整数，然后将分为奇数和偶数两种情况讨论，最后可得时符合题意．

试题解析：

(1)证明：∵，

∴，

又，

∴，

数列是首项为，公比为2的等比数列．

(2)解:由(1)得，

∴，

∴

数列是等差数列，

∴，

，

解得或．

当时，，是关于n的一次函数，因此数列是等差数列；

当时，，由于，不是常数，因此数列不是等差数列．

综上可得．

(3)解:由(2)得，

对任意的，均存在，使得成立，

即有，

化简得，

当时，，对任意的，符合题意；

当时，若，则 不符合题意.对任意的，也不符合题意.

综上可得，当，对任意的，均存在，使得成立.