Question

20．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-a）^2}+e，x≤2\\ \frac{x}{1nx}+a+10，x＞2\end{array}$，（e是自然对数的底数），若f（2）是函数f（x）的最小值，则a的取值范围是（　　）

• A． [-1，6]
• B． [1，4]
• C． [2，4]
• D． [2，6]

Answer 1

分析 x≤2时，函数的对称轴为x=a，可确定a≥2，再利用f（e）是函数的极小值，f（e）≥f（2），即可求出a 的范围．

解答 解：x≤2时，函数的对称轴为x=a，∵f（2）是函数f（x）的最小值，∴a≥2．
x＞2，f（x）=$\frac{x}{lnx}$+a+10，f′（x）=$\frac{lnx-1}{l{n}^{2}x}$，x∈（2，e），f′（x）＜0，x∈（2，+∞），f′（x）＞0，∴f（e）是函数的极小值，
∵f（2）是函数f（x）的最小值，
∴f（e）≥f（2），∴1≤a≤6，
∴1≤a≤6．
故选：D．

点评 本题考查函数的最值，考查导数知识的综合运用，确定函数的单调性是关键．