Question

17．设函数f（x）=e^x+a+x，g（x）=ln（x+3）-4e^-x-a，其中e为自然对数的底数，若存在实数x₀，使得f（x₀）-g（x₀）=2成立，则实数a值为（　　）

• A． -2+ln2
• B． 1+ln2
• C． -1-ln2
• D． 2+ln2

Answer 1

分析 令f（x）-g（x）=x+e^x+a-1n（x+3）+4e^-a-x，运用导数求出y=x-ln（x+3）的最小值；运用基本不等式可得e^x+a+4e^-a-x≥4，从而可证明f（x）-g（x）≥2，由等号成立的条件，从而解得a．

解答 解：令f（x）-g（x）=x+e^x+a-1n（x+3）+4e^-a-x，
令y=x-ln（x+3），y′=1-$\frac{1}{x+3}$=$\frac{x+2}{x+3}$，
故y=x-ln（x+3）在（-3，-2）上是减函数，（-2，+∞）上是增函数，
故当x=-2时，y有最小值-2-0=-2，
而e^x+a+4e^-a-x≥4（当且仅当e^x+a=4e^-a-x，即x=-a+ln2时，等号成立）；
故f（x）-g（x）≥2（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；
故x=-a+ln2=-2，
即a=2+ln2．
故选：D．

点评 本题考查了导数的综合应用及基本不等式的应用，同时考查了方程的根与函数的零点的关系应用，属于中档题．