Question

8．已知函数g（x）的导函数g'（x）=e^x，且g（0）g'（1）=e，（其中e为自然对数的底数）．若?x∈（0，+∞），使得不等式$g（x）＜\frac{x-m+3}{{\sqrt{x}}}$成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （-∞，3）
• C． （3，+∞）
• D． （-∞，4-e）

Answer 1

分析 由g'（x）=e^x，可设g（x）=e^x+c，再由g（0）g'（1）=e可得g（x）＜$\frac{x-m+3}{\sqrt{x}}$成立，分离出参数m后可得m＜x-e^x$\sqrt{x}$+3，令h（x）=x-e^x$\sqrt{x}$+3，则问题可转化为：m＜h（x）_max，利用导数可求得h（x）_max．

解答 解：∵函数g（x）的导函数g'（x）=e^x，
∴g（x）=e^x+c，
又∵g（0）g'（1）=e，
∴（1+c）e=e⇒c=0，∴g（x）=e^x，
∵?x∈（0，+∞），使得不等式g（x）＜$\frac{x-m+3}{\sqrt{x}}$成立，
∴?x∈（0，+∞），使得m＜x-e^x$\sqrt{x}$+3成立，
令h（x）=x-e^x$\sqrt{x}$+3，则问题可转化为：m＜h（x）_max，
对于h（x）=x-e^x$\sqrt{x}$+3，x∈（0，+∞），
由于h′（x）=1-e^x（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$），
当x∈（0，+∞）时，
∵e^x＞1，$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$≥2 $\sqrt{\sqrt{x}•\frac{1}{2\sqrt{x}}}$=$\sqrt{2}$，
∴e^x（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）＞1，
∴h'（x）＜0，从而h（x）在（0，+∞）上为减函数，
∴h（x）＜h（0）=3，∴m＜3；
故选：B．

点评 本题考查利用导数研究函数的极值、最值及证明不等式等问题，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生的推理论证能力、分析解决问题的能力，本题综合性强，能力要求较高．