Question

12．某车间计划生产甲、乙两种产品，甲种产品每吨消耗A原料6吨、B原料4吨、C原料4吨，乙种产品每吨消耗A原料3吨、B原料12吨、C原料6吨．已知每天原料的使用限额为A原料240吨、B原料400吨、C原料240吨．生产甲种产品每吨可获利900元，生产乙种产品每吨可获利600元，分别用x，y表示每天生产甲、乙两种产品的吨数
（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（Ⅱ）每天分别生甲、乙两种产品各多少吨，才能使得利润最大？并求出此最大利润．

Answer 1

分析 （Ⅰ）写出约束条件，画出图象即可，
（Ⅱ）设出目标函数，欲求利润最大，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解．

解答 解：（Ⅰ）由已知x，y满足的数学关系式为$\left\{\begin{array}{l}{6x+3y≤240}\\{4x+12y≤400}\\{4x+6y≤240}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分．
（Ⅱ）解：设利润为z万元，则目标函数z=900x+600y，所以y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{z}{600}$，这是斜率为-$\frac{3}{2}$，在y轴上的截距为$\frac{z}{600}$的一族平行直线．
当$\frac{z}{600}$取最大值时，z的值最大，又因为x，y满足约束条件，所以由图可知，当直线z=900x+600y经过可行域中的点M时，截距$\frac{z}{600}$的值最大，即z的值最大．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{6x+3y=240}\\{4x+6y=240}\end{array}\right.$，得点M的坐标为（30，20），
所以Z_max=900×30+600×20=39000．
故每天生产甲种产品30吨，乙种产品20吨时利润最大，且最大利润为39000元．

点评 本题主要考查生活中的优化问题，利用条件建立二元二次不等式组，利用线性规划的知识进行求解是解决本题的关键．