Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$b．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若点M（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在椭圆C上，直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的性质可在：a-c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$b，平方，利用椭圆的离心率公式，即可求得椭圆C的离心率；
（Ⅱ）将M代入椭圆方程，求得a和b的值，求得椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，代入求得k的值，利用弦长公式即可求得|AB|的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由a-c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$b，则（a-c）²=$\frac{1}{3}$b²，
由b²=a²-c²，整理得：2a²-3ac+a²=0，由e=$\frac{c}{a}$，
∴2e²-3e+1=0，
解得：e=1或e=$\frac{1}{2}$，
由0＜e＜1，
∴椭圆得离心率e=$\frac{1}{2}$，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a=2c，则b²=3c²，
将M（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入椭圆方程，则$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$，解得：c=1，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
直线OM的方程为y=$\frac{1}{2}$x，
当直线l的不存在时，AB的中点不在直线y=$\frac{1}{2}$x，故直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=kx+m，则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
整理得：（3+4m²）x²+8kmx+4m²-12=0，
则△=64k²m²-4（3+4m²）（4m²-12）=48（3+4k²-m²）＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
则y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{6m}{3+4{k}^{2}}$，
则AB的中点N（-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$），
由N在直线y=$\frac{1}{2}$x，则-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$=2×$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$，解得：k=-$\frac{3}{2}$，
则△=48（12-m²）＞0，解得：-2$\sqrt{3}$＜m＜2$\sqrt{3}$，
则丨AB丨=$\sqrt{1+（\frac{3}{2}）^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$•$\sqrt{（\frac{12m}{3+9}）^{2}-4×\frac{4{m}^{2}-12}{3+9}}$，
=$\frac{\sqrt{39}}{6}$•$\sqrt{12-{m}^{2}}$，
当m=0，则丨AB丨最大，且丨AB丨_max=$\sqrt{13}$，
|AB|的最大值$\sqrt{13}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．