Question

4．已知数列{a_n}是单调递减的等差数列，S₆=S₁₁，有以下四个结论：
（1）a₉=0
（2）当n=8或n=9时，S_n取最大值
（3）存在正整数k使得S_k=0
（4）存在正整数m使得S_m=S_2m
其中正确的是（1），（2），（3）．

Answer 1

分析 设公差为d，运用等差数列的求和公式，结合条件可得a₁=-8d，由通项公式可判断（1）；由d＜0，结合数列的各项的符号，即可判断（2）；由等差数列的求和公式，解方程结合m，k为正整数即可判断（3），（4）．

解答 解：由数列{a_n}是单调递减的等差数列，设公差为d，S₆=S₁₁，
可得6a₁+$\frac{6×5}{2}$d=11a₁+$\frac{11×10}{2}$d，
化简可得a₁=-8d，
（1）a₉=a₁+8d=0，故正确；
（2）由a_n=a₁+（n-1）d=（n-9）d，
由d＜0，a₁＞0，…，a₈=-d＞0，a₉=0，a₁₀＜0，
可得当n=8或n=9时，S_n取最大值，故正确；
（3）S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d=d•$\frac{{n}^{2}-17n}{2}$，
由S_n=0，可得n²-17n=0，解得n=17∈N，
故存在正整数17使得S₁₇=0；
（4）由S_m=d•$\frac{{m}^{2}-17m}{2}$，S_2m=d•$\frac{4{m}^{2}-34m}{2}$，
由S_m=S_2m，可得m²-17m=4m²-34m，
解得m=0或m=$\frac{17}{3}$．
则不存在存在正整数m使得S_m=S_2m．
其中正确的是：（1），（2），（3）．
故答案为：（1），（2），（3）．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的最值的求法，考查方程思想，以及化简整理的运算能力和判断能力，属于中档题．