Question

20．已知函数$f（x）=\frac{f'（1）}{e}{e^x}+\frac{f（0）}{2}{x^2}-x$，若存在实数m使得不等式f（m）≤2n²-n成立，求实数n的取值范围为（　　）

• A． $（{-∞，-\frac{1}{2}}]∪[{1，+∞}）$
• B． $（{-∞，-1}]∪[{\frac{1}{2}，+∞}）$
• C． $（{-∞，0}]∪[{\frac{1}{2}，+∞}）$
• D． $（{-∞，-\frac{1}{2}}]∪[{0，+∞}）$

Answer 1

分析 求导，将x=1代入f′（x）和f（x），即可求得函数的解析式及导函数，根据函数的单调性及最值，由题意即可求得2n²-n≥f（x）_min=1，即可求得实数n的取值范围．

解答 解：由$f（x）=\frac{f'（1）}{e}{e^x}+\frac{f（0）}{2}{x^2}-x$，求导，f′（x）=$\frac{f′（1）}{e}$e^x+f（0）x-1，
当x=1时，f′（1）=f′（1）+f（0）-1，则f（0）=1，
f（0）=$\frac{f′（1）}{e}$=1，则f′（1）=e，
f（x）=e^x+$\frac{1}{2}$x²-x，则f′（x）=e^x+x-1，
令f′（x）=0，解得：x=0，
当f′（x）＞0，解得：x＞0，当f′（x）＜0，解得：x＜0，
∴当x=0时，取极小值，极小值为f（0）=1，
∴f（x）的最小值为1，
由f（m）≤2n²-n，则2n²-n≥f（x）_min=1，
则2n²-n-1≥0，解得：n≥1或n≤-$\frac{1}{2}$，
实数n的取值范围（-∞，-$\frac{1}{2}$∪[1，+∞），
故选A．

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及极值，一元二次不等式的解集，考查计算能力，属于中档题．