Question

【题目】在四棱锥中， 平面，底面为直角梯形， ， ， ，且为线段上的一动点．

（Ⅰ）若为线段的中点，求证： 平面；

（Ⅱ）当直线与平面所成角小于，求长度的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）

【解析】试题分析：（1）取PA的中点F，连结EF，DF，证明四边形EFDC是平行四边形得出CE∥DF，故而CE∥平面PAD；
（2）证明BC⊥平面PAC，可知∠PCE为CE与平面PAC所成的角，利用余弦定理得出∠BPC，利用勾股定理得出PE的最大值即可得出PE的范围．

试题解析：

解：（Ⅰ）取的中点，连接，∵为的中点．

∴，

∴四边形是平行四边形，∴，又平面，

∴平面．

（Ⅱ）方法一：∵，∴，又，∴，∴，又，∴平面

∴与平面所成角就是，∴．

∵，∴，∴．

∵，∴．

方法二：以为坐标原点，以直线为轴，直线为轴，直线为轴，

则，取线段中点，则．

易得，所以为平面的一个法向量．

可求得．

设， ， ，

设与平面所成的角，

所以，

化简得，易得，所以．