Question

3．设集合A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）]=x}，设f（x）=x²-（2a-1）x+a²（常数a∈R），求证：A=B．

Answer 1

分析 分别解方程f（x）-x=（x-a）²=0和[f（x）]²-f（x）=[f（x）-a]²⇒[（x-a）²+x-a]²+（x-a）²=0，即可发现两方程的解相同，即可得证明两个集合相等，

解答 证明：根据题意，由f（x）=x²-（2a-1）x+a²，
方程f（x）=x，即x²-（2a-1）x+a²=x，
变形可得（x-a）²=0，
即x=a；
方程f（x）-x=（x-a）²=0的解为x=a，故A={a}；
而方程f[f（x）]=x的解是集合B的元素，
即[f（x）]²-f（x）=[f（x）-a]²⇒[（x-a）²+x-a]²+（x-a）²=0．
（x-a）²[（x-a+1）²+1]=0⇒x=a，所以B={a}．
故A=B．

点评 本题考查集合相等的证明，关键是理解集合的意义以及表示法．