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    【题目】如图所示，直三棱柱的底面为正三角形，分别是的中点．

    （1）证明：平面平面；

    （2）若为中点，且，设三棱锥的体积为，三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为，求的值．

    【答案】（1）见解析（2）

    【解析】

    试题分析：（1）证明平面，而平面，可证平面平面；

    （2）由可得，从而得出，于是，设，过过作于，连接，则由∽得出，从而

    试题解析：（1）证明,如图，因为三棱柱是直三棱柱，所以，

    又是正三角形的边的中点，所以，又

    所以平面，而平面，

    所以平面平面．

    （2）解：因为是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，

    所以平面，所以．

    由题可知，，所以．

    在中，，所以．

    故三棱锥的体积．

    设,

    过作于，连接，

    ∵∽,∴,

    ∴．

    ∵，．

    三棱锥与三棱锥的公共部分为三棱锥，

    ∴，

    ∴．

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