Question

巳知函数f（x）=|x-1|+|2x+3|，x∈R
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值m；
（Ⅱ）若a，b，c∈R，且a⁴+b⁴+c⁴=m，求a²+2b²+3c²的最大值．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,分段函数的应用,二维形式的柯西不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）化简函数函数f（x）的解析式，根据函数的单调性可得，求得函数取得最小值m．
（Ⅱ）由a⁴+b⁴+c⁴=m，可得（a⁴+b⁴+c⁴）（1²+2²+3²）=14m，再利用柯西不等式求得a²+2b²+3c² 的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=|x-1|+|2x+3|=

-3x-2  ，x＜- 3 2 x+4  ，- 3 2 ≤x＜1 3x+2  ，x≥1

，∴根据函数的单调性可得，当x=-

3

2

时，函数取得最小值m=

5

2

．
（Ⅱ）∵a⁴+b⁴+c⁴=m，∴（a⁴+b⁴+c⁴）（1²+2²+3²）=14m，
再利用柯西不等式可得 14m≥（1×a²+2×b²+3×c²）²，∴a²+2b²+3c² ≤

14m

，∴a²+2b²+3c²的最大值为

14m

．

点评：本题主要考查带由绝对值的函数，绝对值不等式的解法，柯西不等式的应用，属于中档题．