Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，且

cosA

cosB

=

b

a

=

3

4

．
（1）判断△ABC的形状；  
（2）若c=15，则△ABC的面积是多少？

Answer 1

考点：正弦定理,二倍角的正弦,二倍角的余弦

专题：解三角形

分析：（1）利用正弦定理构造出

sinB

sinA

=

cosA

cosB

，整理求得sin2A=sin2B进而求得A和B的关系，判断出三角形的形状．
（2）利用（1）中的三角形为直角三角形的结论，利用勾股定理求得a和b的关系式，进而与已知a和b关系式联立求得a和b，最后利用三角形面积公式求得三角形的面积．

解答： 解：（1）∵

sinB

sinA

=

b

a

，
∴

cosA

cosB

=

b

a

=

sinB

sinA

，
∴acosA=bcosB，
即sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
∴2A=2B或2A=π-2B，
即A=B或A+B=

π

2

．
因为

b

a

=

3

4

，所以3a=4b，即a≠b，所以A=B不成立，舍去，
所以A+B=

π

2

，即C=

π

2

．所以△ABC是直角三角形．
（2）∵c=15，
∴a²+b²=c²=225，①
∵3a=4b，②
①②联立方程求得a=12，b=9，
∴S_△ABC=

1

2

×12×9=54．

点评：本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用．利用正弦地理把a和b的关系式作为桥梁，构建等式，利用三角函数的相关知识找到解决问题的突破口．