Question

14．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln（1-x），x＜1}\\{\frac{2}{x-1}，x＞1}\end{array}\right.$，函数g（x）=$\frac{k}{{x}^{2}}$（k∈N*），若函数y=f（x）-g（x）仅有1个零点，则正整数k的最大值是7．

Answer 1

分析 作出f（x）与g（x）的函数图象，根据图象可得$\frac{k}{{x}^{2}}$＜$\frac{2}{x-1}$在（1，+∞）上恒成立，分离参数得出k的范围．

解答 解：作出f（x）的函数图象如图所示：

∵k是正整数，∴g（x）与f（x）的图象在第二象限必有一交点，
又y=f（x）-g（x）仅有1个零点，
∴$\frac{k}{{x}^{2}}$＜$\frac{2}{x-1}$在（1，+∞）上恒成立．
即k＜$\frac{2{x}^{2}}{x-1}$在（1，+∞）上恒成立，
∵$\frac{2{x}^{2}}{x-1}$=$\frac{2（x-1）^{2}+4（x-1）+2}{x-1}$=2（x-1）+$\frac{2}{x-1}$+4≥4+4=8，当且仅当x-1=$\frac{1}{x-1}$即x=2时取等号，
∴k＜8．
∴正整数k的最大值为7．
故答案为：7．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．