Question

正数a，b，c满足：a²+ab+ac+bc=6+2

5

，则3a+b+2c的最小值是

 

．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式

专题：综合题,不等式

分析：a²+ab+bc+ac=a（a+b）+c（a+b）=（a+b）（a+c）=6+2

5

，利用（a+b）（2a+2c）≤

1

4

[（a+b）+（2a+2c）]²=

1

4

（3a+b+2c）²，即可求得结论．

解答： 解：a²+ab+bc+ac=a（a+b）+c（a+b）=（a+b）（a+c）=6+2

5

，
∴（a+b）（2a+2c）=12+4

5

=（

10

+

2

）²，
∴（a+b）（2a+2c）≤

1

4

[（a+b）+（2a+2c）]²=

1

4

（3a+b+2c）²；
∴（

10

+

2

）²≤（3a+b+2c）²，
∴3a+b+2c的最小值为2

10

+2

2

．
故答案为：2

10

+2

2

．

点评：本题考查柯西不等式，考查最小值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．